本文旨在介绍弱各向异性介质或VTI介质及一般均匀介质的各向速度计算方法。

原理描述

对于单色平面波,其波动方程如下:
$$ \rho \ddot{u}_i( \mathbf{x} ,t) = \frac{\partial \tau_{ij}(\mathbf{x},t)} {\partial x_j} $$
结合Hook定律:
$$ \tau_{ij} = c_{ijkl} \frac{\partial u_l}{\partial x_k} $$
和平面波在频率域的表示:
$$ \mathbf{u}(x,t) = \mathbf{g} e^{ -i \omega (t - \mathbf{s} \cdot \mathbf{x})} $$

将平面波方程与Hook定律代入波动方程中可得:
$$ \rho g_i = c_{ijkl} s_k s_j g_l $$
即:
$$(C_{ijkl} \hat{s_k} \hat{s_j} - c^2 \rho \delta_{il} ) g_l = 0$$
其中$\mathbf{u(x,t)}$是位移矢量,$\tau{_{ij}}$是应力张量各分量,$\rho$是密度值,$\mathbf{s}$是幔度矢量,$\mathbf{x}$是位置点矢量,$ \mathbf{C}$是劲度张量,$\mathbf{g}$是偏振矢量。

在上式做变换
$$ M_{il} = \frac{ C_{ijkl}} {\rho} \hat{s_k} \hat{s_j} $$
即可得到christoffel公式:
$$ \mathbf{M} \cdot \mathbf{g} = c^2 \mathbf{g} $$
解上述特征值问题即可得到任意均匀介质(同$\mathbf{C}$)的偏振方向($\mathbf{g}$)和速度特征值($c$)。
一般而言,上述特征值有三个解,分别代表不同P,SV和SH波。

修改历史

2017-03-23: 第一版并给christoffel公式

参考文献

基础地震学 朱良保